Learning Never Ends: March 2017

A. METODE TERTUTUP

A.1. Metode Bagi-Dua

Metode Bagi-Dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval tersebut membagi dua bagian, lalu memilih dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Metode ini berlaku ketika ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 dengan f merupakan fungsi kontinyu.

Prosedur Metode Bagi-Dua :

Misal dijamin bahwa f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval [a, b] dan f(a)f(b) < 0. Ini artinya bahwa f(x) paling tidak harus memiliki akar pada interval [a, b]. Kemudian definisikan titik tengah pada interval [a, b] yaitu c := $\frac{a+b}{2}$ . Dari sini kita memperoleh dua subinterval yaitu [a, c] dan [c, b]. Setelah itu, cek apakah f(a)f(c) < 0 atau f(b)f(c) < 0 ? Jika f(a)f(c) < 0 maka b = c (artinya titik b digantikan oleh titik c yang berfungsi sebagai titik b pada iterasi berikutnya), jika tidak maka a = c. Dari iterasi pertama kita memperoleh interval [a, b] yang baru dan titik tengah c yang baru. Kemudian lakukan pengecekan lagi seperti sebelumnya sampai memperoleh error yang cukup kecil.

Contoh :

Carilah akar dari x³ + 4x² – 10 = 0 pada interval [1, 2].

Penyelesaian :

Dalam penyelesaian ini saya akan menggunakan sampai iterasi ke-10 dan menggunakan 5 angka dibelakang koma.

f(x) = x³ + 4x² – 10

f(1) = (1)³ + 4(1)² – 10 = -5

f(2) = (2)³ + 4(2)² – 10 = 14

f(1.5) = (1.5)³ + 4(1.5)² – 10 = 2.375

f(1.25) = (1.25)³ + 4(1.25)² – 10 = -1.79687

f(1.375) = (1.375)³ + 4(1.375)² – 10 = 0.16210

f(1.3125) = (1.3125)³ + 4(1.3125)² – 10 = -0.84838

f(1.34375) = (1.34375)³ + 4(1.34375)² – 10 = -0.35098

f(1.35938) = (1.35938)³ + 4(1.35938)² – 10 = -0.09632

f(1.36719) = (1.36719)³ + 4(1.36719)² – 10 = 0.03239

f(1.36329) = (1.36329)³ + 4(1.36329)² – 10 = -0.03200

f(1.36524) = (1.36524)³ + 4(1.36524)² – 10 = 0.000016

f(1.36426) = (1.36426)³ + 4(1.36426)² – 10 = -0.01601

f(1.36329) = (1.36329)³ + 4(1.36329)² – 10 = -0.00784

n	a	B	c = (a + b)/2	f(a)	f(b)	f(c)	f(a)f(c)	f(b)f(c)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 1 1.25 1.25 1.3125 1.34375 1.35938 1.35938 1.36329 1.36329	2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.375 1.375 1.36719 1.36719 1.36524	1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.35938 1.36719 1.36329 1.36524 1.36426	– – – – – – – – – –	+ + + + + + + + + +	+ – + – – – + – + –	– + – + + + – + – +	+ – + – – – + – + –

Jadi akar yang diperoleh dari f(x) = x³ + 4x² – 10 menggunakan 10 iterasi adalah 1.36426

A.2. METODE REGULA FALSI

Metode Regular Falsi adalah panduan konsep dimulai dengan pemilihan dua titik awal x₀ dan x₁ sedemikian sehingga f(x₀) dan f(x₁) berlawanan tanda atau f(x₀)f(x₁) < 0. Kemudian menarik garis l dari titik f(x₀) dan f(x₁) sedemikian sehingga garis l berpotongan pada sumbu – x dan memotong kurva / grafik fungsi pada titik f(x₀) dan f(x₁). Sehingga Metode Regular Falsi ini akan menghasilkan titik potong pada sumbu-x yaitu x₂ yang merupakan calon akar dan tetap berada dalam interval [x₀, x₁]. Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut interval [x_n-1, x_n] yang semuanya berisi akar f.

Prosedur Metode Regular Falsi

Menentukan interval titik awal x₀ dan x₁ sedemikian sehingga f(x₀)f(x₁)<0.
Setelah itu menghitung x₂ = x₁ – $\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}$ . Kemudian periksa apakah f(x₀)f(x₂) < 0 atau f(x₁)f(x₂) < 0, jika f(x₀)f(x₂) < 0 maka x₀ = x₀atau x₂ = x₁, jika tidak maka x₁ = x₁atau x₂ = x₀. Kemudian ulangi terus langkah-langkah tersebut sampai ketemu ‘akar’ yang paling mendekati ‘akar yang sebenarnya’ atau mempunyai error yang cukup kecil.

Secara umum, rumus untuk Metode Regular Falsi ini adalah sebagai berikut

x_n+1 = x_n – $\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$

Untuk mendapatkan rumus tersebut, perhatikan gambar diatas.

syarat : f(x₀)f(x₁) < 0

pandang garis l yang melalui (x₀, f(x₀)) dan (x₁, f(x₁)) sebagai gradien garis, sehingga diperoleh persamaan gradient sebagai berikut

$\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ = $\frac{f(x_1)-y}{x_1-x_2}$

karena x₂ merupakan titik potong pada sumbu – x maka f(x₂) = 0 = y, sehingga diperoleh

$\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ = $\frac{f(x_1)-0}{x_1-x_2}$

x₁ – x₂ = $\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}$

x₂ = x₁ – $\frac{f(x_1)(x_1-x_0)}{f(x_1)-f(x_0)}$

atau jika ditulis secara umum menjadi

x_n+1 = x_n – $\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$

Contoh :

Tentukan akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Regular Falsi sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x³ – 15x² + 17x – 6

iterasi 1 :

ambil x₀ = -1 dan x₁ = 3

f(-1) = 4(-1)³ – 15(-1)² + 17(-1) – 6 = -42

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)}$ = 1.8

f(1.8) = 4(1.8)³ – 15(1.8)² + 17(1.8) – 6 = -0.672

f(3) f(1.8) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.8 dan x₁ = 3

iterasi 2 :

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-1.8]}{18-(-0.672)}$ = 1.84319

f(1.84319) = 4(1.84319)³ – 15(1.84319)² + 17(1.84319) – 6 = -0.57817

f(3) f(1.84319) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.84319 dan x₁ = 3

iterasi 3 :

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-1.84319]}{18-(-0.57817)}$ = 1.87919

f(1.87919) = 4(1.87919)³ – 15(1.87919)² + 17(1.87919) – 6 = -0.47975

f(3) f(1.87919) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.87919 dan x₁ = 3

iterasi 4 :

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-1.84319]}{18-(-0.47975)}$ = 1.90829

f(1.90829) = 4(1.90829)³ – 15(1.90829)² + 17(1.90829) – 6 = -0.38595

f(3) f(1.90829) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.90829 dan x₁ = 3

iterasi 5 :

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-1.90829]}{18-(-0.38595)}$ = 1.93120

f(1.93120) = 4(1.93120)³ – 15(1.93120)² + 17(1.93120) – 6 = -0.30269

f(3) f(1.93120) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.93120 dan x₁ = 3

iterasi 6 :

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-1.93120]}{18-(-0.30269)}$ = 1.94888

f(1.94888) = 4(1.94888)³ – 15(1.94888)² + 17(1.94888) – 6 = -0.23262

f(3) f(1.94888) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.94888 dan x₁ = 3

iterasi 7 :

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-1.94888]}{18-(-0.23262)}$ = 1.96229

f(1.96229) = 4(1.96229)³ – 15(1.96229)² + 17(1.96229) – 6 = -0.17597

f(3) f(1.96229) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.96229 dan x₁ = 3

iterasi 8 :

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-1.96229]}{18-(-0.17597)}$ = 1.97234

f(1.97234) = 4(1.97234)³ – 15(1.97234)² + 17(1.97234) – 6 = -0.13152

f(3) f(1.97234) < 0 maka ambil x₀ = x₂ = 1.97234 dan x₁ = 3

iterasi 9 :

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-1.97234]}{18-(-0.13152)}$ = 1.97979

n	x₀	x₁	x₁	f(x₀)	f(x₁)	f(x₂)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	-1 1.8 1.84319 1.87919 1.90829 1.93120 1.94888 1.96229 1.97234	3 3 3 3 3 3 3 3 3	1.8 1.84319 1.87919 1.90829 1.93120 1.94888 1.96229 1.97234 1.97979	-42 -0.672 -0.57817 -0.47975 -0.38595 -0.30269 -0.23262 -0.17597 -0.13152	18 18 18 18 18 18 18 18 18	-0.672 -0.57817 -0.47975 -0.38595 -0.30269 -0.23262 -0.17597 -0.13152 -0.09741

Jadi akar dari persamaan 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Regular Falsi adalah 1.97979

A. METODE TERBUKA

B.1. Metode Titik Tetap

Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x) secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f(x) yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x) bila g(x) = x dan f(x) = 0.

Teorema :

Diketahui g(x) fungsi kontinu dan {X_n} adalah barisan yang terbetuk oleh Fixed Point Iteration, maka

Jika $Lim_{n \to \infty}$ X_n = x maka x adalah Fixed Point fungsi g(x).

Sumber gambar : karlcalculus

Prosedur Metode Titik Tetap

Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = g(x). Kemudian tentukan nilai titik awal, misal x₁. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan g(x) sedemikian sehingga g(x₁) = x₂, setelah itu titik x₂ yang diperoleh substitusikan lagi ke g(x) sedemikian sehingga g(x₂) = x₃. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi

x₁ (penetuan titik awal)

x₂= g(x₁) (iterasi pertama)

x₃= g(x₂) (iterasi kedua)

x_n= g(x_n-1) (iterasi ke-n)

Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup kecil (|x_n– x_n-1| < $\varepsilon$ ).

Contoh :

Selesaikan persamaan x – e^-x = 0 dengan menggunakan Fixed Point dengan 10 iterasi atau sampai dua angka dibelakang koma tidak berubah.

Penyelesaian :

f(x) = x – e^-x

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk x = g(x), sehingga diperoleh x = e^-x

misal kita ambil titik awalnya x₁ = 0.5, maka iterasinya adalah x_n+1 = e^-x_{n} akan diperoleh

x₁ = 0.5 (penetuan titik awal)

f(x₁) = 0.5 – e^-0.5 = -0.1065

x₂= g(x₁) = e^-0.5 = 0.6065 (iterasi pertama)

f(x₁) = 0.6065 – e^-0.6065 = 0.0612

x₃= g(x₂) = e^-0.6065 = 0.5452 (iterasi ke-2)

f(x₁) = 0.5452 – e^-0.5452 = -0.0345

x₄= g(x₃) = e^-0.5452 = 0.5797 (iterasi ke-3)

f(x₁) = 0.5797 – e^-0.5797 = 0.0196

x₉= g(x₈) e^-0.5664 = 0.5675 (iterasi ke-9)

f(x₁) = 0.5 – e^-0.5 = -0.1065

x₁₀= g(x₉) e^-0.5675 = 0.5669 (iterasi ke-10)

f(x₁) = 0.5 – e^-0.5 = -0.1065

sehingga apabila ditulis dalam bentuk table akan diperoleh

n	x_n	g(x_n-1)	f(x_n)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0.5 0.6065 0.5452 0.5797 0.5600 0.5712 0.5648 0.5684 0.5664 0.5675	0.6065 0.5452 0.5797 0.5600 0.5712 0.5648 0.5684 0.5664 0.5675 0.5669	-0.1065 0.0612 -0.0345 0.0196 -0.0112 0.0006 -0.0003 0.00019 -0.00011 0.00005

Jadi hampiran akar yang diperoleh menggunakan Fixed Point adalah 0.5675

Contoh 2 :

Hitunglah hampiran akar dari persamaan x² – 2x – 3 = 0 pada interval [1, 4] menggunakan Fixed Point.

Penyelesaian :

Misal persamaan x² – 2x – 3 = 0 diubah menjadi x(x – 2) – 3 = 0 sehingga diperoleh x = $\frac{3}{x-2}$ dan iterasinya menjadi x_n+1 = $\frac{3}{x_n-2}$ . ambil titik awal x₁ = 4.

Sehingga apabila ditulis dalam tabel diperoleh :

n	x_n	g(x_n-1)	f(x_n)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19	4 1.5 -6 -0.375 -1.2631 -0.9193 -1.0276 -0.9908 -1.003 -0.999 -1.00033 -0.9989 -1.00036 -0.99988 -1.00004 -0.99998 -1.00001 -0.99999 -1.00000	1.5 -6 -0.375 -1.2631 -0.9193 -1.0276 -0.9908 -1.003 -0.999 -1.00033 -0.9989 -1.00036 -0.99988 -1.00004 -0.99998 -1.00001 -0.99999 -1.00000 -1.00000	5 -3.75 45 -2.1093 1.1216 -0.3162 0.1111 -0.0367 0.012 -0.00039 0.00013 -0.00043 0.00014 -0.00004 0.000016 -0.000008 0.00004 -0.000004 0

Jadi akar dari f(x) = x² – 2x – 3 = 0 adalah -1

Sekarang bagaimana jika fungsi pada Contoh 2 kita ubah menjadi x = $\frac{x^3+1}{3}$ ? Berapa nilai akarnya? Pada kasus ini jika menggunakan Fixed Point maka kita tidak akan menemukan hampiran akarnya karena fungsi tersebut divergen. Bagaimana cara kita bisa menentukan bahwa fungsi tersebut divergen atau konvergen? Perhatikan teorema dibawah ini.

Teorema :

Diketahui g kontinu pada [a, b] dan paling sedikit memiliki satu akar pada [a, b] jika |g'(x)| $\leq$ M < 1, $\forall$ x $\epsilon$ [a, b] maka iterasi x_n+1 = g(x_n) dengan x_i $\epsilon$ [a, b] menghasilkan barisan {X_n} konvergen yaitu $Lim_{n \to \infty}$ x_n = L $\Leftrightarrow$ {X_n} $\rightarrow$ 0

x = $\frac{x^3+1}{3}$ = g(x)

g'(x) = 3x², dimana 3x² $\geq$ 0, maka menurut Teorema diatas g(x) divergen.

INGAT : dalam Fixed Point, g(x) harus konvergen. Jika divergen, maka tidak bisa dilakukan perhitungan akar menggunakan Fixed Point ini

B.2. METODE NEWTON RAPHSON

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.

Prosedur Metode Newton :

menentukan x₀ sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang menyinggung titik f(x₀). Hal ini berakibat garis l memotong sumbu – x di titik x₁. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x₁ dianggap sebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x₂, x₃, … x_n dengan x_n yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.

Perhatikan gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson

persamaan garis l : y – y₀ = m(x – x₀)

y – f(x₀) = f'(x₀)(x – x₀)

x₁ adalah perpotongan garis l dengan sumbu – x

0 – f(x₀) = f'(x₀)(x₁ – x₀)

y = 0 dan x = x₁ maka koordinat titik (x₁, 0)

– $\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$ = (x₁ – x₀)

x₁ = x₀ – $\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$

x₂ = x₁ – $\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}$

x_n = x_n-1– $\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}$ untuk n = 1, 2, 3, …

Contoh :

Tentukan akar dari persamaan 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Newton-Raphson.

Penyelesaian :

f(x) = 4x³ – 15x² + 17x – 6

f’(x) = 12x² – 30x + 17

iterasi 1 :

ambil titik awal x₀ = 3

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

f’(3) = 12(3)² – 30(3) + 17 = 35

x₁ = 3 – $\frac{18}{35}$ = 2.48571

iterasi 2 :

f(2.48571) = 4(2.48571)³ – 15(2.48571)² + 17(2.48571) – 6 = 5.01019

f’(2.48571) = 12(2.48571)² – 30(2.48571) + 17 = 16.57388

x₂ = 2.48571 – $\frac{5.01019}{16.57388}$ = 2.18342

iterasi 3 :

f(2.18342) = 4(2.18342)³ – 15(2.18342)² + 17(2.18342) – 6 = 1.24457

f’(2.18342) = 12(2.18342)² – 30(2.18342) + 17 = 8.70527

x₃ = 2.18342 – $\frac{1.24457}{8.70527}$ = 2.04045

iterasi 4 :

f(2.04045) = 4(2.04045)³ – 15(2.04045)² + 17(2.04045) – 6 = 0.21726

f’(2.04045) = 12(2.04045)² – 30(2.04045) + 17 = 5.74778

x₄ = 2.04045 – $\frac{0.21726}{5.74778}$ = 2.00265

iterasi 5 :

f(3) = 4(2.00265)³ – 15(2.00265)² + 17(2.00265) – 6 = 0.01334

f’(2.00265) = 12(2.00265)² – 30(2.00265) + 17 = 5.04787

x₅ = 2.00265 – $\frac{0.01334}{5.04787}$ = 2.00001

iterasi 6 :

f(2.00001) = 4(2.00001)³ – 15(2.00001)² + 17(2.00001) – 6 = 0.00006

f’(2.00001) = 12(2.00001)² – 30(2.00001) + 17 = 5.00023

x₆ = 2.00001 – $\frac{0.00006}{5.00023}$ = 2.00000

iterasi 7 :

f(2) = 4(2)³ – 15(2)² + 17(2) – 6 = 0

jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.

n	x_n	f(x_n)	f'(x_n)
0 1 2 3 4 5 6	3 2.48571 2.18342 2.04045 2.00265 2.00001 2.00000	18 5.01019 1.24457 0.21726 0.01334 0.00006 0.00000	35 16.57388 8.70527 5.74778 5.04787 5.00023 5.00000

karena pada iteasi ketujuh f(x₆) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x = 2.

B.3. METODE SECANT

Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f'(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x₀, f(x₀)) dan (x₁, f(x₁)). Perhatikan gambar dibawah ini.

Persamaan garis l adalah

$\frac{x-x_1}{x_0-x_1}$ = $\frac{y-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}$

Karena x = x₂ maka y = 0, sehingga diperoleh

$\frac{x_2-x_1}{x_0-x_1}$ = $\frac{0-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}$

x₂ – x₁ = $-\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}$

x₂ = x₁ – $\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}$

= x₁ – $\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}$

secara umum rumus Metode Secant ini ditulis

x_n+1 = x_n – $\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$

Prosedur Metode Secant :

Ambil dua titik awal, misal x₀ dan x₁. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x₂ menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x₁ dan x₂ sebagai titik awal dan hitung x₃. Kemudian ambil x₂ dan x₃ sebagai titik awal dan hitung x₄. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

Contoh :

Tentukan salah satu akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x³ – 15x² + 17x – 6

iterasi 1 :

ambil x₀ = -1 dan x₁ = 3 (ngambil titik awal ini sebarang saja, tidak ada syarat apapun)

f(-1) = 4(-1)³ – 15(-1)² + 17(-1) – 6 = -42

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)}$ = 1.8

iterasi 2 :

ambil x₁ = 3 dan x₂ = 1.8

f(1.8) = 4(1.8)³ – 15(1.8)² + 17(1.8) – 6 = -0.672

x₃ = (1.8) – $\frac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18}$ = 1.84319

iterasi 3 :

ambil x₂ = 1.8 dan x₃ = 1.84319

f(1.84319) = 4(1.84319)³ – 15(1.84319)² + 17(1.84319) – 6 = -0.57817

x₄ = (1.84319) – $\frac{(-0.57817)[1.84319-1.8]}{-0.57817-(0.672)}$ = 2.10932

iterasi 4 :

ambil x₃ = 1.84319 dan x₄ = 2.10932

f(2.10932) = 4(2.10932)³ – 15(2.10932)² + 17(2.10932) – 6 = 0.65939

x₅ = (2.10932) – $\frac{(0.65939)[2.10932-1.84319]}{0.65939-(-0.57817)}$ = 1.96752

iterasi 5 :

ambil x₄ = 2.10932 dan x₅ = 1.96752

f(1.96752) = 4(1.96752)³ – 15(1.96752)² + 17(1.96752) – 6 = -0.15303

x₆ = (1.96752) – $\frac{(-0.15303)[1.96752-2.10932]}{-0.15303-0.65939)}$ = 1.99423

iterasi 6 :

ambil x₅ = 1.96752 dan x₆ = 1.99423

f(1.99423) = 4(1.99423)³ – 15(1.99423)² + 17(1.99423) – 6 = -0.02854

x₇ = (1.99423) – $\frac{(-0.02854)[1.99423-1.96752]}{-0.02854-(-0.15303)}$ = 2.00036

iterasi 7 :

ambil x₆ = 1.99423 dan x₇ = 2.00036

f(2.00036) = 4(2.00036)³ – 15(2.00036)² + 17(2.00036) – 6 = 0.00178

x₈ = (2.00036) – $\frac{(0.00178)[2.00036-1.99423]}{0.00178-(-0.02854)}$ = 2.00000

iterasi 8 :

ambil x₇ = 2.00036 dan x₈ = 1.999996

f(1.999996) = 4(1.999996)³ – 15(1.999996)² + 17(1.999996) – 6 = -0.0002

x₉ = (1.999996) – $\frac{(-0.0002)[1.999996-2.00036]}{-0.0002-0.00178}$ = 2.0000

iterasi 9 :

ambil x₈ = 1.999996 dan x₉ = 2.00000

f(2.00000) = 4(2.00000)³ – 15(2.00000)² + 17(2.00000) – 6 = 0.00000

x₁₀ = (2.00000) – $\frac{(0.00000)[2.00000-1.999996]}{0.00000-(-0.00002)}$ = 0.00000

n	x_n-1	x_n	x_n+1	f(x_n-1)	f(x_n)	f(x_n+1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	-1 3 1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000	3 1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000 2.00000	1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000 2.00000 2.00000	-42 18 -0.672 -0.57817 0.659 39 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002	18 -0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002 0.00000	-0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002 0.00000 0.00000

Jadi salah satu akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 adalah 2

Learning Never Ends

Wednesday, March 29, 2017

Metode Pencarian Akar

A. METODE TERTUTUP

A.1. Metode Bagi-Dua

A.2. METODE REGULA FALSI

A. METODE TERBUKA

B.1. Metode Titik Tetap

B.2. METODE NEWTON RAPHSON

B.3. METODE SECANT

Blog Archive