Kaidah Trapesium

Aturan Trapezoida adalah suatu metode pentdekatan integral numerik dengan polinom rde satu. Dalam metode ini, kurva yang berbentuk lengkung di dekatkan dengan garis lurus sedemikian sehingga, bentuk dibawah kurvanya seperti trapesium.

sumber gambar : wikipedia

Luas dibawah kurva dengan fungsi f(x) antara a = x₀ dan b = x₁ didekati oleh suatu trapesium. Dalam trapesium ini f(a) dan f(b) sebagai alas dan sisi atas dan b – a adalah tinggi dari trapesiun tersebut. Berdasarkan Rumus Luas Trapesium maka diperoleh (x₁ – x₀)[f(x₀) + f(x₁)]. Sehingga diperoleh f(x) h[f(x₀) + f(x₁)] = T₁(f) dengan h = (x₁ – x₀). Rumus ini hanya untuk kasus satu partisi. Bagaimana dengan dua partisi, tiga partisi atau n partisi?

Sekarang perhatikan untuk dua partisi. Dengan a = x₀, x₁ dan x₂ = b. Dari penjelasan diatas, maka diperoleh

T₂(f) = (x₁ – x₀)[f(x₀) + f(x₁)] + (x₂ – x₁)[f(x₁) + f(x₂)]

karena x₁ – x₀ = x₂ – x₁ maka h = sehingga diperoleh :

= h[f(x₀) + f(x₁)] + h[f(x₁) + f(x₂)]

= h[f(x₀) + 2f(x₁) + f(x₂)]

= h[((f(x₀) + f(x₂)) + f(x₁)]

= [((f(x₀) + f(x₂)) + f(x₁)]

Sekarang perhatikan untuk tiga partisi. Dengan a = x₀, x₁ ,x₂ dan x₃ = b, diperoleh :

T₃(f) = (x₁ – x₀)[f(x₀) + f(x₁)] + (x₂ – x₁) [f(x₁) + f(x₂)] + (x₃ – x₂) [f(x₂) + f(x₃)]

karena x₁ – x₀ = x₂ – x₁ = x₃ – x₂ = h dengan h = , maka :

= h[f(x₀) + f(x₁)] + h[f(x₁) + f(x₂)] + h[f(x₂) + f(x₃)]

= h[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + f(x₃)]

= h[(f(x₀) + f(x₃)) + f(x₁) + f(x₂)]

= [((f(x₀) + f(x₃)) + f(x₁) + f(x₂)]

Maka jika ditulis Rumus Aturan Trapezoida secara umum yaitu

T_n(f) = [((f(x₀) + f(x_n)) + f(x₁) + f(x₂) + … + f(x_n-1)]

= [((f(x₀) + f(x_n)) + f(x_i)]

Contoh 1 :

Hitung luas dibawah kurva f(x) = e^x pada interval [0, 4] menggunakan Aturan Trapezoida 4 partisi.

Penyelesaian :

h = = 1

x₀ = 0

x₁ = a + h = 1

x₂ = a + 2h = 2

x₃ = a + 3h = 3

x₄ = a + 4h = 4

T₄(f) = [((f(x₀) + f(x₄)) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)]

= [((e⁰ + e⁴) + e¹ + e² + e³]

= (e⁰ + e⁴) + e¹ + e² + e³

= (1 + 54.5981) + 2.7182 + 7.3890 + 20.0855

= 57.99175

Contoh 2 :

Hitung luas dibawah kurva f(x) = x² pada interval [0, 2] menggunakan Aturan Trapezoida 6 partisi.

Penyelesaian :

h = = 1/3

x₀ = 0

x₁ = a + h = 1/3

x₂ = a + 2h = 2/3

x₃ = a + 3h = 1

x₄ = a + 4h = 4/3

x₅ = a + 5h = 5/3

x₆ = a + 6h = 2

T₄(f) = [((f(x₀) + f(x₆)) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + f(x₄) + f(x₅)]

= [((0² + 2²) + (1/3)² + (2/3)² + 1² + (4/3)² + (5/3)²]

= [(0 + 4) + 1/9 + 4/9 + 1 + 16/9 + 25/9]

= 73/27

= 2.7073

Interpolasi

Konsep Interpolasi

Interpolasi merupakan suatu pendekatan numerik yang perlu dilakukan, bila kita memerlukan nilai suatu fungsi y = y (x) yang tidak diketahui perumusannya secara tepat, Pada nilai argumen x tertentu, bila nilainya pada argumen lain di sekitar argumen yang diinginkan diketahui. Sebagai contohnya, misal kita melakukan percobaan atau pengamatan, dan dari upaya tersebut, diperoleh sekumpulan data (x,y), seperti pada tabel berikut  hubungan y = f(x) tidak kita ketahui secara jelas (eksplisit).

x	y
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5	1.0 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25

Misalkan suatu waktu kita memerlukan nilai y = f(1.45), yang tidak tercantum pada tabel di atas. Dalam keadaan demikian, kita perlu memperkirakan nilai y (1.45) dengan melakukan interpolasi pada data yang tersedia. Untuk itu kita perlu memisalkan bahwa antara dua titik argumen yang berdekatan, y mengikuti suatu fungsi tertentu, misalkan bahwa antara x = 1.4 dan x = 1.5, fungsi berbentuk linear, atau y (1.4) dan y (1.5) dihubungkan oleh suatu garis lurus. Dengan demikian y (1.45) terletak di tengah-tengah antara y (1.4) dan y (1.5), sehingga berdasarkan anggapan tersebut diperoleh:

Y (1.45) = (1.96 + 2.25) / 2 = 2.0325

Cara demikian disebut interpolasi linear.
Ada berbagai cara interpolasi yang dapat disusun, yang tergantung pada anggapan kita tentang fungsi yang menghubungkan y = f(x), yang nilai y-nya diketahui.

Jenis-Jenis Interpolasi

• Interpolasi Linear
• Interpolasi Kuadratik
• Interpolasi Polinomial

Interpolasi Linier

menentukan titik-titik antara 2 buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi garis lurus

interpolasi linier

Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2)

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier :

Interpolasi Kuadratik

Interpolasi Kuadratik menentukan titik-titik antara 3 buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat 3 titik yang diketahui: P1(x1,y1), P2(x2,y2) danP3(x3,y3)

Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik:

Interpolasi Polinomial

Interpolasi Polinomial menentukan titik-titik antara N buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat N-1Titik-titik yang diketahui: P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3)…PN(xN,yN)

Persamaan polynomial pangkat N-1
Masukkan nilaidarisetiaptitikkedalampersamaanpolynomial diatas, 
diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variabel bebas