Wednesday, June 7, 2017

Kaidah Trapesium

Aturan Trapezoida adalah suatu metode pentdekatan integral numerik dengan polinom rde satu. Dalam metode ini, kurva yang berbentuk lengkung di dekatkan dengan garis lurus sedemikian sehingga, bentuk dibawah kurvanya seperti trapesium.
Photobucket

sumber gambar : wikipedia
Luas dibawah kurva dengan fungsi f(x) antara a = x0 dan b = x1 didekati oleh suatu trapesium. Dalam trapesium ini f(a) dan f(b) sebagai alas dan sisi atas dan b – a adalah tinggi dari trapesiun tersebut. Berdasarkan Rumus Luas Trapesium maka diperoleh \frac{1}{2} (x1 – x0)[f(x0) + f(x1)]. Sehingga diperoleh \int_a^b f(x) \approx \frac{1}{2} h[f(x0) + f(x1)] = T1(f) dengan h = (x1 – x0). Rumus ini hanya untuk kasus satu partisi. Bagaimana dengan dua partisi, tiga partisi atau n partisi?
Sekarang perhatikan untuk dua partisi. Dengan a = x0, x1 dan x2 = b. Dari penjelasan diatas, maka diperoleh
T2(f) = \frac{1}{2}(x1 – x0)[f(x0) + f(x1)] + \frac{1}{2}(x2 – x1)[f(x1) + f(x2)]
karena x1 – x0 = x2 – x1 maka h = \frac{b-a}{2} sehingga diperoleh :
= \frac{1}{2}h[f(x0) + f(x1)] + \frac{1}{2}h[f(x1) + f(x2)]
= \frac{1}{2}h[f(x0) + 2f(x1) + f(x2)]
= h[\frac{1}{2}((f(x0) + f(x2)) + f(x1)]
= \frac{b-a}{2}[\frac{1}{2}((f(x0) + f(x2)) + f(x1)]
Sekarang perhatikan untuk tiga partisi. Dengan a = x0, x1 ,x2 dan x3 = b, diperoleh :
T3(f) = \frac{1}{2}(x1 – x0)[f(x0) + f(x1)] + \frac{1}{2}(x2 – x1) [f(x1) + f(x2)] + \frac{1}{2}(x3 – x2) [f(x2) + f(x3)]
karena x1 – x0 = x2 – x1 = x3 – x2 = h dengan h = \frac{b-a}{3}, maka :
= \frac{1}{2}h[f(x0) + f(x1)] + \frac{1}{2}h[f(x1) + f(x2)] + \frac{1}{2}h[f(x2) + f(x3)]
= \frac{1}{2}h[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + f(x3)]
= h[\frac{1}{2}(f(x0) + f(x3)) + f(x1) + f(x2)]
= \frac{b-a}{3} [\frac{1}{2}((f(x0) + f(x3)) + f(x1) + f(x2)]
Maka jika ditulis Rumus Aturan Trapezoida secara umum yaitu
Tn(f) = \frac{b-a}{n} [\frac{1}{2}((f(x0) + f(xn)) + f(x1) + f(x2) + … + f(xn-1)]
= \frac{b-a}{n} [\frac{1}{2}((f(x0) + f(xn)) + \sum_{i=1}^{n-1}f(xi)]
Contoh 1 :
Hitung luas dibawah kurva f(x) = ex pada interval [0, 4] menggunakan Aturan Trapezoida 4 partisi.
Penyelesaian :
h = \frac{4-0}{4} = 1
x0 = 0
x1 = a + h = 1
x2 = a + 2h = 2
x3 = a + 3h = 3
x4 = a + 4h = 4
T4(f) = \frac{b-a}{4} [\frac{1}{2}((f(x0) + f(x4)) + f(x1) + f(x2) + f(x3)]
= \frac{4-0}{4} [\frac{1}{2}((e0 + e4) + e1 + e2 + e3]
= \frac{1}{2}(e0 + e4) + e1 + e2 + e3
= \frac{1}{2}(1 + 54.5981) + 2.7182 + 7.3890 + 20.0855
= 57.99175
Contoh 2 :
Hitung luas dibawah kurva f(x) = x2 pada interval [0, 2] menggunakan Aturan Trapezoida 6 partisi.
Penyelesaian :
h = \frac{2-0}{6} = 1/3
x0 = 0
x1 = a + h = 1/3
x2 = a + 2h = 2/3
x3 = a + 3h = 1
x4 = a + 4h = 4/3
x5 = a + 5h = 5/3
x6 = a + 6h = 2
T4(f) = \frac{b-a}{6} [\frac{1}{2}((f(x0) + f(x6)) + f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)]
= \frac{2-0}{6} [\frac{1}{2}((02 + 22) + (1/3)2 + (2/3)2 + 12 + (4/3)2 + (5/3)2]
= \frac{1}{3} [\frac{1}{2}(0 + 4) + 1/9 + 4/9 + 1 + 16/9 + 25/9]
= 73/27
= 2.7073
Posted by at
Labels: , ,

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)