Learning Never Ends: Kaidah Titik Tengah

Aturan Titik Tengah (Midpoint Rule) hampir mirip dengan Aturan Trapezoida tapi Aturan Titik Tengah menggunakan pendekatan Luas Persegi Panjang. Kurva yang dipartisi sedemikian sehingga setiap partisi yang berbentuk kurva lengkung didekatkan dengan suatu garis singgung, dimana garis singgung yang digunakan melalui titik tengah dari lengkungan kurva pada setiap partisi. Untuk menghitung luas dibawah kurva didekatkan dengan Luas Persegi Panjang.

Jika kita memiliki sebuah partisi kurva seperti diatas dengan titik koordinat awal x₀ = a dan titik koordinat ujung x₁ = b = a + h maka koordinat titik tengahnya x_m1 = a + $\frac{1}{2}$ h dengan h = b – a. Maka luas dibawah kurvanya

$\int_a^b$ f(x) $\approx$ h.f(a + $\frac{1}{2}$ h) = M₁(f)

Jika kita mempartisi kurva menjadi dua partisi yaitu x₀ = a, x₁ = a + h dan x₁ = a + h, x₂ = b = a + 2h. Maka titik tengah dari masing-masing partisi adalah x_m1 = a + $\frac{1}{2}$ h dan x_m2 = a + $\frac{3}{2}$ h dengan h = $\frac{b-a}{2}$ . Sehingga luas dibawah kurvanya diperoleh

M₂(f) = hf(a + $\frac{1}{2}$ h) + hf(a + $\frac{3}{2}$ h)

= h[f(a + $\frac{1}{2}$ h) + f(a + $\frac{3}{2}$ h)]

Sehingga Rumus Aturan Titik Tengah untuk n partisi apabila ditulis secara umum, diperoleh :

M_n(f) = h.f(a + $\frac{1}{2}$ h) + h.f(a + $\frac{3}{2}$ h) + … + hf(a + (n – $\frac{1}{2}$ )h)

= h $\sum_{i=1}^n$ f(a + (n – $\frac{1}{2}$ )h)

dengan h = $\frac{b-a}{n}$

Contoh :

Hitung hasil $\int_0^2$ (2 + cos[2 $\sqrt{x}$ ]) dx menggunakan Aturan Titik Tengah dengan 4 dan 8 partisi.

Penyelesaian :

Untuk 4 partisi :

h = $\frac{2-0}{4}$ = $\frac{1}{2}$

M₄(f) = h[f(a + $\frac{1}{2}$ h) + f(a + $\frac{3}{2}$ h) + f(a + $\frac{5}{2}$ h) + f(a + $\frac{7}{2}$ h)]

= $\frac{1}{2}$ [f(0 + $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}$ ) + f(0 + $\frac{3}{2}.\frac{1}{2}$ ) + f(0 + $\frac{3}{2}.\frac{1}{2}$ ) + f(0 + $\frac{3}{2}.\frac{1}{2}$ )]

= $\frac{1}{2}$ [f( $\frac{1}{4}$ ) + f( $\frac{3}{4}$ ) + f( $\frac{5}{4}$ ) + f( $\frac{7}{4}$ )]

= $\frac{1}{2}$ [2 + cos[2 $\sqrt{1/4}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{3/4}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{5/4}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{7/4}$ ]]

= $\frac{1}{2}$ [2 + cos[ $\sqrt{1}$ ] + 2 + cos[ $\sqrt{3}$ ] + 2 + cos[ $\sqrt{5}$ ] + 2 + cos[ $\sqrt{7}$ ]]

= $\frac{1}{2}$ [8 + 0.54030 – 0.16055 – 0.61727 -0.87956]

= 3.44146

Untuk 8 partisi :

h = $\frac{2-0}{8}$ = $\frac{1}{4}$

M₈(f) = h[f(a + $\frac{1}{2}$ h) + f(a + $\frac{3}{2}$ h) + f(a + $\frac{5}{2}$ h) + f(a + $\frac{7}{2}$ h) + f(a + $\frac{9}{2}$ h) + f(a + $\frac{11}{2}$ h) + f(a + $\frac{13}{2}$ h) + f(a + $\frac{15}{2}$ h)]

= $\frac{1}{4}$ [f(0 + $\frac{1}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{3}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{5}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{7}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{9}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{11}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{13}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{15}{2}.\frac{1}{4}$ )]

= $\frac{1}{4}$ [f( $\frac{1}{8}$ ) + f( $\frac{3}{8}$ ) + f( $\frac{5}{8}$ ) + f( $\frac{7}{8}$ ) + f( $\frac{9}{8}$ ) + f( $\frac{11}{8}$ ) + f( $\frac{13}{8}$ ) + f( $\frac{15}{8}$ )]

= $\frac{1}{4}$ [2 + cos[2 $\sqrt{1/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{3/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{5/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{7/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{9/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{11/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{13/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{15/8}$ ]]

= $\frac{1}{4}$ [16 + cos[ $\sqrt{1/2}$ ] + cos[ $\sqrt{3/2}$ ] + cos[ $\sqrt{5/2}$ ] + cos[ $\sqrt{7/2}$ ] + cos[ $\sqrt{9/2}$ ] + cos[ $\sqrt{11/2}$ ] + cos[ $\sqrt{13/2}$ ] + cos[ $\sqrt{15/2}$ ]]

= $\frac{1}{4}$ [16 + 0.76024 + 0.33918 – 0.01034 – 0.29555 – 0.52313 – 0.69929 – 0.82978 – 0.91989]

= 3.45536

Learning Never Ends

Thursday, June 8, 2017

Kaidah Titik Tengah

No comments:

Post a Comment

Blog Archive