Learning Never Ends: June 2017

Thursday, June 8, 2017

Kaidah Simpson

Aturan Simpson adalah suatu aturan yang digunakan untuk menghitung luas suatu kurva polinom berderajat dua p₂(x) atau berderajat tiga p₃(x) dengan pendekatan yaitu pendekatan menggunakan pastisi berbentuk parabola. Dalam Metode Simpson ada dua jenis yaitu Metode Simpson 1 per 3 dan Metode Simpson 3 per 8. Tapi dalam tulisan ini saya terlebih dahulu akan membahas Metode Simpson 1 per 3.

Aturan Simpson 1 per 3 ini mempartisi kurva polinom berderajat dua p₂(x) dengan 3 titik, 5 titik, 7 titik dan seterusnya sedemikian sehingga ruang partisi yang dibentuk berjumlah genap.

Perhatikan gambar diatas, misal kita menggunakan f(x) = Ax² + Bx + C dengan tiga titik partisi yaitu x₀, x₁ dan x₂ dengan mengambil x₀ = -h, x₁ = 0 dan x₂ = h. Perlu diingat bahwa partisi yang dilakukan disini dianggap sama besar untuk setiap ruang partisi.

Substitusi nilai -h, 0 dan h ke f(x), sedemikian sehingga diperoleh

(-h, f(x₀)) $\rightarrow$ f(a) = Ah² – Bh + C … (i)

(0, f(x₁)) $\rightarrow$ f(h) = C … (ii)

(h, f(x₂)) $\rightarrow$ f(b) = Ah² + Bh + C … (iii)

eliminasi (i) dan (ii) :

f(x₀) = Ah² – Bh + C

f(x₁) = C –

f(x₀) – f(x₁) = Ah² – Bh … (iv)

eliminasi (iii) dan (ii) :

f(x₂) = Ah² + Bh + C

f(x₁) = C –

f(x₂) – f(x₁) = Ah² + Bh … (v)

eliminasi (iv) dan (v) :

f(x₀) – f(x₁) = Ah² – Bh

f(x₂) – f(x₁) = Ah² + Bh +

f(x₀) – 2f(x₁) + f(x₂) = 2Ah² … (vi)

integralkan f(x) dengan batas bawah dan batas atas masing-masing -h dan h sehingga diperoleh luas dibawah kurva.

$\int_a^b$ (Ax² + Bx + C) dx = $\frac{1}{3}$ Ax³ + $\frac{1}{2}$ Bx² + Cx |_-h^h

= [ $\frac{1}{3}$ Ah³ + $\frac{1}{2}$ Bh² + Ch] – [ $-\frac{1}{3}$ Ah³ + $\frac{1}{2}$ Bh² – Ch]

= $\frac{2}{3}$ (Ah³ + 2Ch)

= $\frac{1}{3}$ h (2Ah² + 6C) … (vii)

Substitusi (ii) dan (vi) ke persamaan (vii) :

= $\frac{1}{3}$ h [(f(x₀) – f(x₁) + f(x₂)) + 6f(x₁)]

= $\frac{1}{3}$ h [f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂)]

S₂(x) = $\int_{x_0}^{x_2}$ f(x) dx

= $\frac{1}{3}$ h [f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂)], h = $\frac{x_1-x_0}{2}$

Rumus Simpson 1 per 3 untuk 2 pias atau partisi menggunakan 5 titik,

S₄(x) = $\int_{x_0}^{x_1}$ f(x) dx + $\int_{x_1}^{x_2}$ f(x) dx

= $\frac{1}{3}$ h [f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂)] + $\frac{1}{3}$ h [f(x₂) + 4f(x₃) + f(x₄)]

= $\frac{1}{3}$ h [(f(x₀) + f(x₄)) + 4(f(x₁) f(x₃)) + 2f(x₂)], h = $\frac{x_2-x_0}{4}$

Rumus Simpson 1 per 3 untuk n pias,

S_n(x) = $\int_{x_0}^{x_2}$ f(x) dx + $\int_{x_2}^{x_4}$ f(x) dx + … + $\int_{x_{n-2}}^{x_n}$ f(x) dx

= $\frac{1}{3}$ h [f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂)] + $\frac{1}{3}$ h [f(x₂) + 4f(x₃) + f(x₄)] + … + $\frac{1}{3}$ h [f(x_n-2) + 4f(x_n-1) + f(x_n)]

= $\frac{1}{3}$ h [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + f(x₄) + … + 2f(x_n-2) + 4f(x_n-1) + f(x_n)], h = $\frac{x_n-x_0}{n}$

= $\frac{1}{3}$ h [(f(x₀) + f(x_n)) + 4 $\sum_{i=1}^{n-1}$ f(x_i) + 2 $\sum_{i=2}^{n-2}$ f(x_i)]

Contoh :

Hitunglah I = $\int_0^4$ e^x dx menggunakan Metode Simpson 1 per 3 dengan 4 pias.

Penyelesaian :

h = $\frac{4-0}{4}$ = 1

x₀ = 0

x₁ = a + h = 1

x₂ = a + 2h = 2

x₃ = a + 3h = 3

x₄ = a + 4h = 4

S₄(x) = $\frac{1}{3}$ h [(f(x₀) + f(x₄)) + 4(f(x₁) + f(x₃)) + 2f(x₂)]

= $\frac{1}{3}$ (1) [(e⁰ + e⁴) + 4(e¹ + e³) + 2e²]

= $\frac{1}{3}$ [(1 + 54.5981) + 4(2.7182 + 20.0855) + 2(7.3890)]

= $\frac{1}{3}$ [55.5981 + 91.2148 + 14.778]

= 53.8636

Kaidah Titik Tengah

Aturan Titik Tengah (Midpoint Rule) hampir mirip dengan Aturan Trapezoida tapi Aturan Titik Tengah menggunakan pendekatan Luas Persegi Panjang. Kurva yang dipartisi sedemikian sehingga setiap partisi yang berbentuk kurva lengkung didekatkan dengan suatu garis singgung, dimana garis singgung yang digunakan melalui titik tengah dari lengkungan kurva pada setiap partisi. Untuk menghitung luas dibawah kurva didekatkan dengan Luas Persegi Panjang.

Jika kita memiliki sebuah partisi kurva seperti diatas dengan titik koordinat awal x₀ = a dan titik koordinat ujung x₁ = b = a + h maka koordinat titik tengahnya x_m1 = a + $\frac{1}{2}$ h dengan h = b – a. Maka luas dibawah kurvanya

$\int_a^b$ f(x) $\approx$ h.f(a + $\frac{1}{2}$ h) = M₁(f)

Jika kita mempartisi kurva menjadi dua partisi yaitu x₀ = a, x₁ = a + h dan x₁ = a + h, x₂ = b = a + 2h. Maka titik tengah dari masing-masing partisi adalah x_m1 = a + $\frac{1}{2}$ h dan x_m2 = a + $\frac{3}{2}$ h dengan h = $\frac{b-a}{2}$ . Sehingga luas dibawah kurvanya diperoleh

M₂(f) = hf(a + $\frac{1}{2}$ h) + hf(a + $\frac{3}{2}$ h)

= h[f(a + $\frac{1}{2}$ h) + f(a + $\frac{3}{2}$ h)]

Sehingga Rumus Aturan Titik Tengah untuk n partisi apabila ditulis secara umum, diperoleh :

M_n(f) = h.f(a + $\frac{1}{2}$ h) + h.f(a + $\frac{3}{2}$ h) + … + hf(a + (n – $\frac{1}{2}$ )h)

= h $\sum_{i=1}^n$ f(a + (n – $\frac{1}{2}$ )h)

dengan h = $\frac{b-a}{n}$

Contoh :

Hitung hasil $\int_0^2$ (2 + cos[2 $\sqrt{x}$ ]) dx menggunakan Aturan Titik Tengah dengan 4 dan 8 partisi.

Penyelesaian :

Untuk 4 partisi :

h = $\frac{2-0}{4}$ = $\frac{1}{2}$

M₄(f) = h[f(a + $\frac{1}{2}$ h) + f(a + $\frac{3}{2}$ h) + f(a + $\frac{5}{2}$ h) + f(a + $\frac{7}{2}$ h)]

= $\frac{1}{2}$ [f(0 + $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}$ ) + f(0 + $\frac{3}{2}.\frac{1}{2}$ ) + f(0 + $\frac{3}{2}.\frac{1}{2}$ ) + f(0 + $\frac{3}{2}.\frac{1}{2}$ )]

= $\frac{1}{2}$ [f( $\frac{1}{4}$ ) + f( $\frac{3}{4}$ ) + f( $\frac{5}{4}$ ) + f( $\frac{7}{4}$ )]

= $\frac{1}{2}$ [2 + cos[2 $\sqrt{1/4}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{3/4}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{5/4}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{7/4}$ ]]

= $\frac{1}{2}$ [2 + cos[ $\sqrt{1}$ ] + 2 + cos[ $\sqrt{3}$ ] + 2 + cos[ $\sqrt{5}$ ] + 2 + cos[ $\sqrt{7}$ ]]

= $\frac{1}{2}$ [8 + 0.54030 – 0.16055 – 0.61727 -0.87956]

= 3.44146

Untuk 8 partisi :

h = $\frac{2-0}{8}$ = $\frac{1}{4}$

M₈(f) = h[f(a + $\frac{1}{2}$ h) + f(a + $\frac{3}{2}$ h) + f(a + $\frac{5}{2}$ h) + f(a + $\frac{7}{2}$ h) + f(a + $\frac{9}{2}$ h) + f(a + $\frac{11}{2}$ h) + f(a + $\frac{13}{2}$ h) + f(a + $\frac{15}{2}$ h)]

= $\frac{1}{4}$ [f(0 + $\frac{1}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{3}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{5}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{7}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{9}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{11}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{13}{2}.\frac{1}{4}$ ) + f(0 + $\frac{15}{2}.\frac{1}{4}$ )]

= $\frac{1}{4}$ [f( $\frac{1}{8}$ ) + f( $\frac{3}{8}$ ) + f( $\frac{5}{8}$ ) + f( $\frac{7}{8}$ ) + f( $\frac{9}{8}$ ) + f( $\frac{11}{8}$ ) + f( $\frac{13}{8}$ ) + f( $\frac{15}{8}$ )]

= $\frac{1}{4}$ [2 + cos[2 $\sqrt{1/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{3/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{5/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{7/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{9/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{11/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{13/8}$ ] + 2 + cos[2 $\sqrt{15/8}$ ]]

= $\frac{1}{4}$ [16 + cos[ $\sqrt{1/2}$ ] + cos[ $\sqrt{3/2}$ ] + cos[ $\sqrt{5/2}$ ] + cos[ $\sqrt{7/2}$ ] + cos[ $\sqrt{9/2}$ ] + cos[ $\sqrt{11/2}$ ] + cos[ $\sqrt{13/2}$ ] + cos[ $\sqrt{15/2}$ ]]

= $\frac{1}{4}$ [16 + 0.76024 + 0.33918 – 0.01034 – 0.29555 – 0.52313 – 0.69929 – 0.82978 – 0.91989]

= 3.45536